第一章 映射与函数

第一节 映射

设 X、Y 是两个非空集合，如果存在一个法则 ff，使得对 XX 中每个元素 xx，按法则，在 YY 都有唯一确定的元素 yy 与之对应，那么称 ff 为从 XX 到 YY 的映射（又称算子），记作 f:X→Yf:X\rightarrow Y。

在映射 ff 下，yy 称为 xx 的像，记作 y=f(x)y=f(x)。xx 被称为 yy 的一个原像。

一个映射 ff 中，XX 被称为定义域，记作 Df=XD_f=X。XX 中所有元素组成的像的集合被称为值域，记作 Rf=f(X)={f(x)∣x∈X}R_f=f(X)=\{f(x)|x\in X\}。

如果 Rf=YR_f=Y，即称 ff 为满射。如果 ∀x1,x2∈X,f(x1)≠f(x2)\forall x_1,x_2\in X,f(x_1)\ne f(x_2)，即称 ff 为单射。如果 ff 即使满射又是单射，即称 ff 为双射。

从非空集到数集的映射又称泛函，从非空集到它自身的映射又称变换，从实数集（或其子集）到实数集的映射又称函数。

如果 ff 是从 XX 到 YY 的单射，那么我们称 f−1:Rf→Xf^{-1}:R_f\rightarrow X 为 ff 的逆映射。

如果有两个映射 g:X→Y1,f:Y2→Zg:X\rightarrow Y_1,f:Y_2\rightarrow Z，满足 Y1⊆Y2Y_1\subseteq Y_2，则 ∀x∈X,f(g(x))∈Z\forall x\in X,f(g(x))\in Z。f(g(x))f(g(x)) 为 gg 与 ff 构成的复合映射，记作 f∘g:X→Zf\circ g:X\rightarrow Z。

第二节 函数

函数的有界性：对于函数 ff，I⊆DfI\subseteq D_f，若 ∃k⇒∀x∈I⇒f(x)≤k\exists k\Rightarrow\forall x\in I\Rightarrow f(x)\le k，则函数 ff 在 II 上有上界。≤\le 改为 ≥\ge 即为有下界。

函数的单调性：对于函数 ff，I⊆DfI\subseteq D_f，若 ∀x1,x2,x1<x2⇒f(x1)<f(x2)\forall x_1,x_2,x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)，则函数 ff 在 II 上单调增加。把 f(x1)<f(x2)f(x_1)<f(x_2) 改为 f(x1)>f(x2)f(x_1)>f(x_2) 即为单调减少。

函数的奇偶性：如果函数 ff 的定义域关于原点对称，且 ∀x⇒f(x)=f(−x)\forall x\Rightarrow f(x)=f(-x)，则 ff 为偶函数。如果函数 ff 定义域对称且 ∀x⇒f(x)=−f(−x)\forall x\Rightarrow f(x)=-f(-x)，则 ff 为奇函数。

函数的周期性：如果函数 ff 满足 ∃l⇒∀x,x,x+l∈Df⇒f(x)=f(x+l)\exists l\Rightarrow\forall x,x,x+l\in D_f\Rightarrow f(x)=f(x+l)，则 ff 为周期函数。

函数的四则运算：

  1. 和（差）：(f±g)(x)=f(x)±g(x)(f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x)。

  2. 积：(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x)(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)。

  3. 商：∀x∈Dg,g(x)≠0⇒(fg)(x)=f(x)g(x)\forall x\in D_g,g(x)\ne 0\Rightarrow \left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}。

幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。

常数和基本初等函数经过有限次四则和复合运算得到的函数称为初等函数。

第二章 极限

第一节 数列极限的概念

注：这里的数列都是有无限项的数列。

有一数列 {x}\{x\}，如果 ∃a\exists a，使得对于 ∀ε,ε>0\forall\varepsilon,\varepsilon>0，总是 ∃N,N∈Z\exists N,N\in\mathbb{Z}，使得对于 ∀n,n>N\forall n,n>N，满足 ∣xn−a∣<ε|x_n-a|<\varepsilon，则 aa 为 {x}\{x\} 的极限，又称 {x}\{x\} 收敛于 aa，记作 lim⁡n→∞xn=a\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=a。如果不存在这样的 aa，则称 {x}\{x\} 没有极限，又称 {x}\{x\} 是发散的。

第二节 数列极限的性质

  1. 唯一性：如果 {x}\{x\} 收敛，则它的极限唯一。

  2. 有界性：如果 {x}\{x\} 收敛，则它一定有界，这里的有界指既有上界又有下界。

  3. 保号性：如果 {x}\{x\} 收敛，且 lim⁡n→∞xn>0\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_n>0，则 ∃N\exists N，使得 ∀n,n>N\forall n,n>N，xn>0x_n>0。符号换成小于号依旧成立。

  4. 保号性的推论：如果 {x}\{x\} 收敛，且 ∃N\exists N，使得 ∀n,n>N\forall n,n>N，xn≥0x_n\ge 0，则 lim⁡n→∞xn≥0\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_n\ge 0。符号换成小于等于号依旧成立。

  5. 收敛数列与其子数列的关系：如果 {x}\{x\} 收敛于 aa，那么它的任意子数列（这里的子数列也是有无限项的数列）也收敛于 aa。

第三节 函数极限的定义

  1. 自变量趋近于有限值时函数的极限

    有一函数 ff，如果在点 x0x_0 的一个去心邻域内有定义，如果 ∃a\exists a，使得 ∀ε,ε>0\forall\varepsilon,\varepsilon>0，总是 ∃δ,δ>0\exists\delta,\delta>0，满足 ∀x,x∈U˚(x0,δ)⇒∣f(x)−a∣<ε\forall x,x\in \mathring{U}(x_0,\delta)\Rightarrow |f(x)-a|<\varepsilon，则 aa 为函数 ff 在 x0x_0 处的极限，又称 ff 在 x0x_0 处收敛于 aa，记作 lim⁡x→x0f(x)=a\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=a。将 x∈U˚(x0,δ)x\in \mathring{U}(x_0,\delta) 替换成 x∈U˚−(x0,δ)x\in\mathring{U}^-(x_0,\delta) 即为左极限的定义，记作 lim⁡x→x0−f(x)=a\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=a。替换成 x∈U˚+(x0,δ)x\in\mathring{U}^+(x_0,\delta) 即为右极限的定义，记作 lim⁡x→x0+f(x)=a\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=a。左极限与右极限统称为单侧极限。

    极限存在的充要条件：lim⁡x→x0f=a⇔lim⁡x→x0+f=lim⁡x→x0−f=a\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f=a\Leftrightarrow \lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f=\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f=a

    与数列不同的是，函数在任意位置都可能有极限，比如对于函数 ff，lim⁡x→x0f(x)\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x) 可能存在，而对于数列 {x}\{x\}，lim⁡n→n0xn\lim\limits_{n\rightarrow n_0}x_n 是没有意义的。

  2. 自变量趋于无穷大时函数的极限

    有一函数 ff，如果 ∣x∣|x| 大于某一正数时有定义，如果 ∃a\exists a，使得 ∀ε,ε>0\forall\varepsilon,\varepsilon>0，总是 ∃X,X>0\exists X,X>0，满足 ∀x,∣x∣>X⇒∣f(x)−a∣<ε\forall x,|x|>X\Rightarrow|f(x)-a|<\varepsilon，则 aa 为函数 ff 趋于无穷时的极限，记作 lim⁡x→∞f(x)=a\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f(x)=a。将 ∣x∣>X|x|>X 替换成 x>Xx>X，即为趋于正无穷时极限的定义，记作 lim⁡x→+∞f(x)=a\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=a。将 ∣x∣>X|x|>X 替换成 x<−Xx<-X，即为趋于负无穷时极限的定义，记作 lim⁡x→−∞f(x)=a\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f(x)=a。如 lim⁡x→∞f(x)=a\lim\limits_{x\rightarrow\infty}f(x)=a，则称直线 y=ay=a 为函数 ff 的水平渐近线。

第四节 函数极限的基本性质

  1. 唯一性。

  2. 局部有界性：如函数 ff 在 x0x_0 处有极限，则 ∃δ,δ>0\exists\delta,\delta>0，函数 ff 在 U˚(x0,δ)\mathring{U}(x_0,\delta) 有界。

  3. 局部保号性：类比收敛数列的保号性和函数极限的局部有界性。

  4. 局部保号性的推论：类比收敛数列的保号性的推论和函数极限的局部有界性。

  5. 函数与数列复合的极限：有函数 ff 和数列 {x}\{x\}，如果极限 lim⁡x→x0f(x)\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x) 存在，数列值域在函数定义域内且极限 lim⁡n→∞xn=x0\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=x_0，则 lim⁡n→∞f(xn)=lim⁡x→x0f(x)\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)。

我们发现函数 x→x0x\rightarrow x_0、函数 x→∞x\rightarrow\infty、数列 n→∞n\rightarrow\infty、函数 x→x0−x\rightarrow x_0^-、函数 x→x0+x\rightarrow x_0^+ 时的性质有极大的相似处，所以下文中都用「自变量趋于无穷时同理」「数列同理」「单侧同理」来代替，用「其它同理」来表示这三者都满足。

第五节 无穷小和无穷大

有函数 ff，如果 lim⁡x→x0f(x)=0\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=0，那么称函数 ff 为 x→x0x\rightarrow x_0 时的无穷小。其它同理。

极限存在的充要条件：在自变量的同一变化过程 x→x0x\rightarrow x_0 或 x→∞x\rightarrow\infty 中，函数 ff 具有极限 aa 的充要条件是 f(x)=a+αf(x)=a+\alpha，其中 α\alpha 是无穷小。

有函数 ff，如果函数 ff 在 x0x_0 的某一去心邻域有定义，并且对于 ∀ε,ε>0\forall\varepsilon,\varepsilon>0，总是 ∃δ,δ>0\exists\delta,\delta>0，使得 ∀x,x∈U˚(x0,δ)⇒∣f(x)∣>ε\forall x,x\in\mathring{U}(x_0,\delta)\Rightarrow|f(x)|>\varepsilon，那么称函数 ff 为 x→x0x\rightarrow x_0 时的无穷大。其它同理。

上文中的函数极限可记作 lim⁡x→x0f(x)=∞\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty，当然按照定义此时的极限是不存在的，这只是一种表达方式。把 ∣f(x)∣>ε|f(x)|>\varepsilon 分别改成 f(x)>εf(x)>\varepsilon 和 f(x)<−εf(x)<-\varepsilon 分别可记作 lim⁡x→x0f(x)=+∞\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=+\infty 和 lim⁡x→x0f(x)=−∞\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=-\infty。其它同理。

倒数定理：在自变量同意变化过程中，如果 ff 为无穷大，则 1f\dfrac{1}{f} 为无穷小。反之如果 ff 为无穷小，则 1f\dfrac{1}{f} 为无穷大。

第六节 极限运算法则

  1. 无穷小的运算法则

    1. 有限个无穷小的和是无穷小

    2. 有界函数或常数和无穷小的乘积是无穷小

    3. 有限个无穷小的乘积是无穷小

  2. 普通极限的运算法则

    为简化公式，下面几个公式中均省略 lim⁡\lim 下方的自变量变化过程。下方公式中每个公式 lim⁡\lim 下方均可填入相同的自变量变化过程。

    1. 和（差）：lim⁡(f±g)=lim⁡f±lim⁡g\lim(f\pm g)=\lim f\pm\lim g。

    2. 积：lim⁡(f⋅g)=lim⁡g⋅lim⁡g\lim(f\cdot g)=\lim g\cdot\lim g。

    3. 商：如果 lim⁡g≠0\lim g\ne 0，则 lim⁡(fg)=lim⁡flim⁡g\lim\left(\dfrac{f}{g}\right)=\dfrac{\lim f}{\lim g}。

    4. 提常数：aa 为常数，如果 lim⁡f\lim f 存在，则 lim⁡af=alim⁡f\lim af=a\lim f。

    5. 提指数：如果 lim⁡f\lim f 存在，nn 为正整数，则 lim⁡fn=(lim⁡f)n\lim f^n=(\lim f)^n。

    6. 不等关系：有函数 f,gf,g，如果 ∃δ,δ>0\exists\delta,\delta>0，使得 ∀x,x∈U˚(x0,δ)⇒f(x)≥g(x)\forall x,x\in\mathring{U}(x_0,\delta)\Rightarrow f(x)\ge g(x)，则 lim⁡x→x0f≥lim⁡x→x0g\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f\ge\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g。把 ≥\ge 替换成 ≤\le 也成立。

    7. 复合函数：有函数 f,g,hf,g,h 满足 f=g∘hf=g\circ h，ff 在点 x0x_0 的某去心邻域内有定义，且 ∃δ,δ>0\exists\delta,\delta>0，满足 ∀x,x∈U˚(x0,δ)⇒h(x)≠lim⁡x→x0h\forall x,x\in\mathring{U}(x_0,\delta)\Rightarrow h(x)\ne \lim\limits_{x\rightarrow x_0}h，则 lim⁡x→x0f(x)=lim⁡u→(lim⁡x→x0h(x))g(u)\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lim\limits_{u\rightarrow\left(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}h(x)\right)}g(u)。

      证明思路

第七节 极限存在准则和两个重要极限

夹逼准则：有三个函数 f,g,hf,g,h，如果 ∃δ,δ>0\exists\delta,\delta>0，满足 ∀x,x∈U˚(x0,δ)⇒g(x)≤f(x)≤h(x)\forall x,x\in\mathring{U}(x_0,\delta)\Rightarrow g(x)\le f(x)\le h(x)，且 lim⁡x→x0g=lim⁡x→x0h=a\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}h=a，则 lim⁡x→x0f=a\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f=a。其它同理。

根据这条准则可求出第一重要极限 lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x}=1。

单调有界准则：有函数 ff，如果 ∃δ,δ>0\exists\delta,\delta>0，满足 U˚−(x0,δ)\mathring{U}^-(x_0,\delta) 单调且有界，则 lim⁡x→x0−f\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f 存在。其它同理，注意这里双侧极限不满足。

根据这条准则可求出第二重要极限 lim⁡x→∞(x+1x)x=e\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\dfrac{x+1}{x}\right)^x=\text{e}。

柯西极限存在准则，又称柯西审敛原理：有函数 ff，「 ∀ε,ε>0\forall\varepsilon,\varepsilon>0，总是 ∃δ,δ\exist\delta,\delta，满足 U˚(x0,δ)\mathring{U}(x_0,\delta) 有定义，且 ∀x1,x2∈U˚(x0,δ)⇒∣f(x1)−f(x2)∣<ε\forall x_1,x_2\in\mathring{U}(x_0,\delta)\Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon」是函数在 x0x_0 处有极限的充要条件。其他同理。

第八节 无穷小的比较

内容待补充

第三章 连续

第一节 连续性

变量 xx 从初值 x1x_1 变到终值 x2x_2，终值与初值的差称为 xx 的增量，记作 Δx=x2−x1\Delta x=x_2-x_1。

有函数 ff，记 Δy=f(x0+Δx)−f(x)\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x)，如果 lim⁡Δx→0Δy=0\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta y=0，则称函数 ff 在 x0x_0 处连续。同样可记作 lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)。单侧同理。通过极限的定义，我们发现可以直接带入求连续点的极限。

若函数 ff 在区间 II 上每一点都连续，则称 ff 在区间 II 上连续。

第二节 间断点

如果函数 ff 在 x0x_0 的某去心邻域中有定义，且 ff 在 x0x_0 处没有定义或 ff 在 x0x_0 处不连续，则称点 x0x_0 为 ff 的间断点或不连续点。

有函数 ff，且在 x0x_0 处为间断点，如果 lim⁡x→x0−f\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f 和 lim⁡x→x0+f\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f 都存在，则称之为第一类间断点，反之为第二类间断点。第一类间断点又可按左右极限是否相等分为可去间断点和跳跃间断点，第二类间断点又可分为无穷间断点和振荡间断点。

第三节 连续函数的运算法则

  1. 四则运算：有函数 f,gf,g 在 x0x_0 处连续，则 f±gf\pm g、f⋅gf\cdot g 和 fg\dfrac{f}{g}（如果合法）在 x0x_0 处均连续。

  2. 反函数：有函数 ff，在区间 II 上有单调性且连续，则它的反函数 f−1f^{-1} 在对应区间也连续。

  3. 复合函数连续套收敛：有函数 f,g,hf,g,h 满足 f=g∘hf=g\circ h，ff 在点 x0x_0 的某去心邻域内有定义，记 lim⁡x→x0h(x)=u0\lim\limits_{x\rightarrow x_0}h(x)=u_0，gg 满足在 u0u_0 处连续，则 f(x0)=lim⁡x→x0f(x)=lim⁡u→u0g(u)f(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lim\limits_{u\rightarrow u_0}g(u)。注意到这里虽然用到了复合函数的极限运算，但是并没有要求满足条件「∃δ,δ>0\exists\delta,\delta>0，满足 ∀x,x∈U˚(x0,δ)⇒h(x)≠lim⁡x→x0h\forall x,x\in\mathring{U}(x_0,\delta)\Rightarrow h(x)\ne \lim\limits_{x\rightarrow x_0}h」，原因是 gg 在 u0u_0 处连续。

  4. 复合函数连续套连续：有函数 f,g,hf,g,h 满足 f=g∘hf=g\circ h，ff 在点 x0x_0 的某去心邻域内有定义，若 hh 在 x0x_0 处连续，且 h(x0)=u0h(x_0)=u_0，且 gg 在 u0u_0 处连续，则 ff 在 x0x_0 处也连续。

第四节 初等函数的连续性

基本初等函数在其定义域内均连续。

包含在定义域内的区间称为定义区间。如函数定义域为 (−1,0)∪(2,3)∪{1,4}(-1,0)\cup(2,3)\cup\{1,4\}，则其定义区间为 (−1,0)∪(2,3)(-1,0)\cup(2,3)。

初等函数在其定义区间内均连续。所以可得有初等函数 ff，x0x_0 是其定义区间中的点，则 lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)。

第五节 闭区间上连续函数的性质

有函数 ff，闭区间 [a,b][a,b]，如果 ff 在 (a,b)(a,b) 上连续，在左端点 aa 右连续，在右端点 bb 左连续，则称 ff 在 [a,b][a,b] 闭区间上连续。

闭区间连续有界定理：在闭区间上连续且在该区间上有界的函数一定有最值。

有函数 ff，如果 f(x0)=0f(x_0)=0，则 x0x_0 为 ff 的零点。

零点定理：有函数 ff，在开区间 [a,b][a,b] 上连续且 f(a)f(a) 与 f(b)f(b) 异号，则 ∃ξ,ξ∈(a,b)⇒f(ξ)=0\exists\xi,\xi\in(a,b)\Rightarrow f(\xi)=0。

介质定理：有函数 ff，在开区间 [a,b][a,b] 上连续，记 f(a)=A,f(b)=Bf(a)=A,f(b)=B，则对于 A,BA,B 之间的任意一个数 CC，∃ξ,ξ∈(a,b)⇒f(ξ)=C\exists\xi,\xi\in(a,b)\Rightarrow f(\xi)=C。

可以看到零点定理是介质定理的特殊形式。

介质定理的推论：有函数 ff，在开区间 [a,b][a,b] 上连续，记 mn,mxmn,mx 分别为 ff 在 [a,b][a,b] 上的最小值和最大值，则 ff 在定义域 [a,b][a,b] 上的值域为 [mn,mx][mn,mx]。

有函数 ff，在区间 II 上有定义。如果 ∀ε,ε>0\forall\varepsilon,\varepsilon>0，总是 ∃δ,δ>0⇒∀x1,x2∈I,∣x1−x2∣<δ⇒∣f(x1)−f(x2)∣<ε\exists\delta,\delta>0\Rightarrow \forall x_1,x_2\in I,|x_1-x_2|<\delta\Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon，则称 ff 在区间 II 上一致连续。

一致连续定理：有函数 ff，如果 ff 在闭区间上连续，则 ff 在该区间上一致连续。

第三章 导数

第一节 导数的定义

有函数 ff，记 Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)，如果 lim⁡Δx→0ΔyΔx\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x} 存在，则称 ff 在 x0x_0 处有导数，或称 ff 在 x0x_0 处可导。单侧同理。函数上一个点导数的值几何意义上是该点切线的斜率。

有函数 y=f(x)y=f(x)，如果 ff 在区间 II 上处处可导，即称 ff 在区间 II 上可导，区间 II 上每一点的导数值组成的新的函数，称为导函数，简称导数。牛顿表示法法记作 f′f'，莱布尼兹表示法记作 dydx\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} 或 df(x)dx\dfrac{\text{d}f(x)}{\text{d}x}。

第二节 导数的基本性质

有函数 ff，如果 ff 在 x0x_0 处可导，则 ff 在 x0x_0 处连续。

证明待补充

第三节 常数和基本初等函数的导数

  1. 常数：函数 f=cf=c，cc 为常数，f′=0f'=0。

  2. 幂函数：函数 f=xaf=x^a，a∈Ra\in\mathbb{R}，f′=axa−1f'=ax^{a-1}。

  3. 指数函数：函数 f=axf=a^x，a>0,a≠1a>0,a\ne 1，f′=axln⁡af'=a^x\ln a。

    特殊的，如果 f=exf=\text{e}^x，f′=exf'=\text{e}^x。

  4. 对数函数：函数 f=log⁡axf=\log_a x，a>0,a≠1a>0,a\ne 1，f′=1xln⁡af'=\dfrac{1}{x\ln a}。

    特殊的，如果 f=ln⁡xf=\ln x，f′=1xf'=\dfrac{1}{x}。

  5. 三角函数：(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)'=\cos x，(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x。

第四节 导数的运算法则

前提条件 1：y=f(x),u=g(x)y=f(x),u=g(x)。

前提条件 2：y=f(u),u=g(x)y=f(u),u=g(x)。

为避免公式中出现过多冗杂的东西，下文公式中的函数如省略函数后表示输入值的括号则表示输入值为该函数的默认输入变量。如「前提条件 1」中 ff 是 f(x)f(x) 的简写。

牛顿表示法 莱布尼茨表示法
提常数「前提条件 1」 (c⋅f)′=c⋅f′(c\cdot f)'=c\cdot f' d(c⋅f)dx=c⋅dfdx\dfrac{\text{d}(c\cdot f)}{\text{d}x}=c\cdot\dfrac{\text{d}f}{\text{d}x}
和（差）「前提条件 1」 (f±g)′=f′±g′(f\pm g)'=f'\pm g' d(f±g)dx=dfdx±dgdx\dfrac{\text{d}(f\pm g)}{\text{d}x}=\dfrac{\text{d}f}{\text{d}x}\pm\dfrac{\text{d}g}{\text{d}x}
积「前提条件 1」 (f⋅g)′=f′g+fg′(f\cdot g)'=f'g+fg' d(f⋅g)dx=dfdxg+fdgdx\dfrac{\text{d}(f\cdot g)}{\text{d}x}=\dfrac{\text{d}f}{\text{d}x}g+f\dfrac{\text{d}g}{\text{d}x}
连积 (f1⋅f2…fn)′=f1′f2…fn+f1f2′…fn+⋯⋯f1f2…fn′(f_1\cdot f_2\ldots f_n)'=\\f_1'f_2\ldots f_n+\\ f_1f_2'\ldots f_n+\\\cdots\cdots\\ f_1f_2\ldots f_n' （略）
商「前提条件 1」 (fg)′=f′g−fg′g2\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2} d(fg)dx=dfdxg−fdgdxg2\dfrac{\text{d}\left(\dfrac{f}{g}\right)}{\text{d}x}=\dfrac{\dfrac{\text{d}f}{\text{d}x}g-f\dfrac{\text{d}g}{\text{d}x}}{g^2}
反函数「前提条件 1」 (f−1)′=1f′∘f−1(f^{-1})'=\dfrac{1}{f'\circ f^{-1}} dxdf=1dfdx\dfrac{\text{d}x}{\text{d}f}=\dfrac{1}{\dfrac{\text{d}f}{\text{d}x}}
复合函数「前提条件 2」 (f∘g)′=(f′∘g)⋅g′(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g' dfdx=dfdg⋅dgdx\dfrac{\text{d}f}{\text{d}x}=\dfrac{\text{d}f}{\text{d}g}\cdot\dfrac{\text{d}g}{\text{d}x}
连复合 (f1∘f2…fn)′=(f1′∘f2…fn)⋅(f2′∘f3…fn)⋅⋯⋯fn′(f_1\circ f_2\ldots f_n)'=\\(f_1'\circ f_2\ldots f_n)\cdot\\ (f_2'\circ f_3\ldots f_n)\cdot\\\cdots\cdots\\ f_n' （略）
反函数导数的牛顿、莱布尼茨表示法等价证明

有函数 y=f(x)y=f(x)，其反函数为 x=f−1(y)x=f^{-1}(y)。

1(f′∘f−1)(y)=1dfd(f−1(y))=1dfdx\dfrac{1}{(f'\circ f^{-1})(y)}=\dfrac{1}{\dfrac{\text{d}f}{\text{d}(f^{-1}(y))}}=\dfrac{1}{\dfrac{\text{d}f}{\text{d}x}}

证毕。

第五节 高阶导数的定义

有函数 ff，ff 的导数的导数称为二阶导数，记作 f′′f'' 或 d2xdx2\dfrac{\text{d}^2x}{\text{d}x^2}。注意 dx\text{d}x 是一个整体，dx2\text{d}x^2 为 (dx)2(\text{d}x)^2。ddx\text{d}\text{d}x 可记作 d2x\text{d}^2x。

二阶导的牛顿、莱布尼茨表示法等价证明

f′′=d(dydx)dx=ddydx−dyddxdx2dx=d2ydx2−dydx⋅d2xdx2=d2ydx2−dydx⋅0=d2ydx2f''=\dfrac{\text{d}\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)}{\text{d}x}=\dfrac{\dfrac{\text{d}\text{d}y\text{d}x-\text{d}y\text{d}\text{d}x}{\text{d}x^2}}{\text{d}x}=\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}-\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\cdot\dfrac{\text{d}^2x}{\text{d}x^2}=\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}-\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\cdot0=\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}

证毕。

二阶导数的导数称为三阶导数，以此类推可得到.nn 阶导数的定义，记作 f(n)f^{(n)} 或 dnxdxn\dfrac{\text{d}^nx}{\text{d}x^n}。

第六节 一些函数的高阶导数

  1. 幂函数：有函数 f(x)=xaf(x)=x^a，a∈Ra\in\mathbb{R}，f(n)={a!(n=a)0(n=a+k,k∈Z+)an‾xa−n(else)f^{(n)}=\begin{cases}a!&(n=a)\\ 0&(n=a+k,k\in\text{Z}^+)\\ a^{\underline{n}}x^{a-n}&(\text{else})\\\end{cases}。

  2. 三角函数：(sin⁡x)(n)=sin⁡(x+n⋅π2)(\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\cdot\dfrac{\pi}{2})，(cos⁡x)(n)=cos⁡(x+n⋅π2)(\cos x)^{(n)}=\cos(x+n\cdot\dfrac{\pi}{2})。

  3. 积函数：有函数 f(x),g(x)f(x),g(x)，(f⋅g)(n)=∑i=0n(ni)f(n−i)g(i)(f\cdot g)^{(n)}=\sum\limits_{i=0}^n\dbinom{n}{i}f^{(n-i)}g^{(i)}。该公式被称为莱布尼茨公式。

第七节 隐函数的导数

等号左边是因变量，等号右边是含自变量的式子的方程又称显函数，如 y=−x+13y=\sqrt[3]{-x+1}。而由方程关系中隐藏的函数称为隐函数，如 x+y3−1=0x+y^3-1=0。把隐函数转化为显函数的过程称为隐函数的显化。

隐函数可以显化后求导。也可以分别对方程两边求导，利用方程两边导数相等来构造新的方程。

第八节 参数方程函数的导数

如果有参数方程 {y=f(t)x=g(t)\begin{cases}y=f(t)\\ x=g(t)\\\end{cases}，那么 y=F(x)y=F(x) 就是由该参数方程确定的函数。

有参数方程 {y=f(t)x=g(t)\begin{cases}y=f(t)\\ x=g(t)\\\end{cases}。则 dydx=f′g′\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=\dfrac{f'}{g'}，d2ydx2=f′′g′−f′g′′g′3\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}=\dfrac{f''g'-f'g''}{g'^3}。

证明

dydx=dydt⋅dtdx=dydt⋅1dxdt=f′g′\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=\dfrac{\text{d}y}{\text{d}t}\cdot \dfrac{\text{d}t}{\text{d}x}=\dfrac{\text{d}y}{\text{d}t}\cdot \dfrac{1}{\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t}}=\dfrac{f'}{g'}。

d2ydx2=d(dydx)dx=d(f′g′)dt⋅dtdx=f′′g′−f′g′′g′2⋅1g′=f′′g′−f′g′′g′3\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}=\dfrac{\text{d}\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)}{\text{d}x}=\dfrac{\text{d}\left(\dfrac{f'}{g'}\right)}{\text{d}t}\cdot\dfrac{\text{d}t}{\text{d}x}=\dfrac{f''g'-f'g''}{g'^2}\cdot\dfrac{1}{g'}=\dfrac{f''g'-f'g''}{g'^3}。

证毕。

第四章 微分

第一节 微分的定义

内容待补充

第二节 常数和基本初等函数的微分以及微分的运算法则

可从「常数和基本初等函数的导数以及导数的运算法则」类比而来。