1. 带约数 ∑\sum 变连续 ∑\sum

    设d′=dn∑n∣d=∑d′=1d′<∞\begin{gather} \text{设}d'=\dfrac{d}{n}\\ \sum\limits_{n\mid d}=\sum\limits_{d'=1}^{d'<\infty}\\ \end{gather}

  2. 又一个求约数个数的公式

    设d(n)为n约数个数d(nm)=∑d∣n∑g∣m[(d,g)=1]\begin{gather} \text{设}d(n)\text{为}n\text{约数个数}\\ d(nm)=\sum\limits_{d\mid n}\sum\limits_{g\mid m}[(d,g)=1]\\ \end{gather}

  3. 构造莫反

    设f(n)=∑⋯[(i,j)=n]设F(n)=∑⋯[n∣i∧n∣j]则F(n)=∑n∣df(d)\begin{gather} \text{设}f(n)=\sum\limits_{\cdots}[(i,j)=n]\\ \text{设}F(n)=\sum\limits_{\cdots}[n\mid i\land n\mid j]\\ \text{则}F(n)=\sum\limits_{n\mid d}f(d) \end{gather}

  4. 含约数的 ∑\sum 改变变量定义的顺序

    ∑i=1i≤n∑d∣i=∑d=1d≤n∑d∣ii≤n\begin{gather} \sum\limits_{i=1}^{i\le n}\sum\limits_{d\mid i}=\sum\limits_{d=1}^{d\le n}\sum\limits_{d\mid i}^{i\le n}\\ \end{gather}

  5. 含约数的 ∑\sum 改变变量定义的顺序2

    ∑d∣n∑g∣nd=∑g∣n∑d∣ng\begin{gather} \sum\limits_{d\mid n}\sum\limits_{g\mid \frac{n}{d}}=\sum\limits_{g\mid n}\sum\limits_{d\mid \frac{n}{g}} \end{gather}

  6. ∑\sum 的基本运算

    1. 设 AA 为任意算式，若 AA 中不含 ∑1\sum_1 中定义的变量，则 ∑1A=A∑1\sum_1 A=A\sum_1。

    2. 设 A,BA,B 为任意算式，若 ∑2\sum_2 及 BB 中不含 ∑1\sum_1 中定义的变量，则 ∑1A∑2B=(∑1A)(∑2B)\sum_1 A\sum_2 B=(\sum_1 A)(\sum_2 B)。