题目传送门

本文分思路（线段树套矩阵的原理），细节和卡常，代码三个部分，大家可以直接跳到自己想看的章节。

零. 前置知识

1. 线段树

为什么我的链接指向的是线段树 2， 而不是 1？自然是因为本题中线段树含有区间乘的要求（虽然没了区间加），强烈建议要写这道题的同学先熟练写出这道题（我就是线段树没写对调了好长时间）。

2. 矩阵运算

建议将矩阵进行封装并重载运算符，因为在本体的大码量下不重载个运算符写起来真的很难受。

一. 线段树套矩阵（思路）

如果这题只要求我们维护一种元素，或是各种元素之间没有影响，那这就是个线段树的板题。关键是这几种元素会相互影响。

但是我们发现，这些操作其实都可以通过矩阵乘法来实现。比如操作一（G 矩阵就是我代码中变量名为 G 的矩阵）：

操作四：

（其他操作的转移矩阵见“三. 代码”）

线段树上的矩阵只需开 1×41 \times 4（而我开了 4×44 \times 4，不过也卡过去了），其中三列的上维护三种元素，另一列维护常数 11。

转移矩阵需要开 4×44 \times 4。

那么每个操作就是将一个区间上的所有矩阵乘上一个数矩阵，如果把一个矩阵看作一个数，那这就是线段树裸题，所以，把一个支持区间乘和求区间和的线段树的 mul 数组（乘法懒标记）和 sum 数组（区间和）的数据类型改为 4×44 \times 4 矩阵或 1×41 \times 4 向量，mul[xxx] = 1 改为 mul[xxx] = I （I：单位矩阵）就行了。

二. 卡常

  1. 不要使用 long long，有溢出风险的地方用强制转换就好了。

  2. 使用快读或：

    1
    2
    3
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    std::cout.tie(nullptr);

  3. 开 O2。

  4. 如果还卡不过去，那就应该试试将线段树上的 4×44 \times 4 矩阵换成 1×41 \times 4 的向量。

三. 代码

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define re register
typedef long long ll;
const int MAXn = 2e5 + 5e4;
const int MAXmat = 4;
const int MOD = 998244353;

template <class T>
inline void read(T &a) {
    register char c;while (c = getchar(), (c < '0' || c > '9') && c != '-');register bool f = c == '-';register T x = f ? 0 : c - '0';while (c = getchar(), c >= '0' && c <= '9') {x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48);}a = f ? -x : x;
}

struct Mat {
    int mat[MAXmat][MAXmat];
    Mat() {
        memset(mat, 0, sizeof(mat));
    }
    Mat(int a[MAXmat][MAXmat]) {
        for (re int i = 0; i < MAXmat; ++i) {
            for (re int j = 0; j < MAXmat; ++j) {
                mat[i][j] = a[i][j];
            }
        }
    }
    inline void operator=(Mat x) {
        for (re int i = 0; i < MAXmat; ++i) {
            for (re int j = 0; j < MAXmat; ++j) {
                mat[i][j] = x.mat[i][j];
            }
        }
    }
    inline Mat operator+(Mat x) {
        Mat ans;
        for (int i = 0; i < MAXmat; ++i) {
            for (int j = 0; j < MAXmat; ++j) {
                ans.mat[i][j] = ((ll)mat[i][j] + x.mat[i][j]) % MOD;
            }	
        }
        return ans;
    }
    inline Mat operator*(Mat x) {
        Mat ans;
        for (re int i = 0; i < MAXmat; ++i) {
            for (re int k = 0; k < MAXmat; ++k) {
                int a = mat[i][k];
                for (re int j = 0; j < MAXmat; ++j) {
                    ans.mat[i][j] = ((ll)a * x.mat[k][j] + ans.mat[i][j]) % MOD;
                }
            }
        }
        return ans;
    }
    inline Mat operator^(int x) {
        Mat ans, base;
        for (re int i = 0; i < MAXmat; ++i) {
            ans.mat[i][i] = 1;
        }
        for (re int i = 0; i < MAXmat; ++i) {
            for (re int j = 0; j < MAXmat; ++j) {
                base.mat[i][j] = mat[i][j];
            }
        }
        while (x) {
            if (x & 1) {
                ans = ans * base;
            }
            base = base * base;
            x >>= 1;
        }
        return ans;
    }
};
int I_[MAXmat][MAXmat] = {
    {1, 0, 0, 0},
    {0, 1, 0, 0},
    {0, 0, 1, 0},
    {0, 0, 0, 1},
};
Mat I(I_);

int le[MAXn * 4 + 10], ri[MAXn * 4 + 10];
Mat sum[MAXn * 4 + 10], mul[MAXn * 4 + 10];
inline void pushup(int id) {
    sum[id] = (sum[id << 1] + sum[(id << 1) + 1]);
}
inline void pushdown(int id) {
    sum[id << 1] = (sum[id << 1] * mul[id]);
    sum[(id << 1) + 1] = (sum[(id << 1) + 1] * mul[id]);
    mul[id << 1] = (mul[id << 1] * mul[id]);
    mul[(id << 1) + 1] = (mul[(id << 1) + 1] * mul[id]);
    mul[id] = I;
}
void BuildUseArr(int id, int l, int r, Mat *a) {
    le[id] = l;
    ri[id] = r;
    mul[id] = I;
    if (l == r) {
        sum[id] = a[l];
    } else {
        int mid = (l + r) >> 1;
        BuildUseArr(id << 1, l, mid, a);
        BuildUseArr((id << 1) + 1, mid + 1, r, a);
        pushup(id);
    }
}
void Mul(int id, int l, int r, Mat k) {
    if (le[id] >= l && ri[id] <= r) {
        mul[id] = (mul[id] * k);
        sum[id] = (sum[id] * k);
    } else {
        pushdown(id);		
        int mid = (le[id] + ri[id]) >> 1;
        if (l <= mid) Mul(id << 1, l, r, k);
        if (r > mid) Mul((id << 1) + 1, l, r, k);
        pushup(id);
    }
}
Mat Sum(int id, int l, int r) {
    if (le[id] >= l && ri[id] <= r) {
        return sum[id];
    } else {
        pushdown(id);
        int mid = (le[id] + ri[id]) >> 1;
        Mat ans;
        if (l <= mid) ans = Sum(id << 1, l, r);
        if (r > mid) ans = (ans + Sum((id << 1) + 1, l, r));
        return ans;
    }
}

int n, m;
Mat a[MAXn + 10], G;
int A_[MAXmat][MAXmat] = {
    {1, 0, 0, 0},
    {1, 1, 0, 0},
    {0, 0, 1, 0},
    {0, 0, 0, 1},
};
Mat A(A_);
int B_[MAXmat][MAXmat] = {
    {1, 0, 0, 0},
    {0, 1, 0, 0},
    {0, 1, 1, 0},
    {0, 0, 0, 1},
};
Mat B(B_);
int C_[MAXmat][MAXmat] = {
    {1, 0, 1, 0},
    {0, 1, 0, 0},
    {0, 0, 1, 0},
    {0, 0, 0, 1},
};
Mat C(C_);
int D_[MAXmat][MAXmat] = {
    {1, 0, 0, 0},
    {0, 1, 0, 0},
    {0, 0, 1, 0},
    {0, 0, 0, 1}, // [3][0] = v
};
Mat D(D_);
int E_[MAXmat][MAXmat] = {
    {1, 0, 0, 0},
    {0, 0, 0, 0},
    {0, 0, 1, 0},
    {0, 0, 0, 1}, // [1][1] = v
};
Mat E(E_);
int F_[MAXmat][MAXmat] = {
    {1, 0, 0, 0},
    {0, 1, 0, 0},
    {0, 0, 0, 0},
    {0, 0, 0, 1}, // [3][2] = v
};
Mat F(F_);
signed main() {
    read(n);
    for (re int i = 1; i <= n; ++i) {
        read(a[i].mat[0][0]), read(a[i].mat[0][1]), read(a[i].mat[0][2]);
        a[i].mat[0][3] = 1;
    }
    BuildUseArr(1, 1, n, a);
    read(m);
    for (re int i = 1, opt, l, r, v; i <= m; ++i) {
        read(opt);
        switch (opt) {
        case 1:
            read(l), read(r);
            Mul(1, l, r, A);
            break;
        case 2:
            read(l), read(r);
            Mul(1, l, r, B);
            break;
        case 3:
            read(l), read(r);
            Mul(1, l, r, C);
            break;
        case 4:
            read(l), read(r), read(v);
            D.mat[3][0] = v;
            Mul(1, l, r, D);
            break;
        case 5:
            read(l), read(r), read(v);
            E.mat[1][1] = v;
            Mul(1, l, r, E);
            break;
        case 6:
            read(l), read(r), read(v);
            F.mat[3][2] = v;
            Mul(1, l, r, F);
            break;
        case 7:
            read(l), read(r);
            G = Sum(1, l, r);
            printf("%d %d %d\n", G.mat[0][0], G.mat[0][1], G.mat[0][2]);
            break;
        }
    }
}